AI首次证明”绝对公平”必存在：GPT-6 Astra攻克FrontierMath重大进展级难题，官方新设Human+AI标签

一道悬了9年的数学开放题，被GPT-6 Astra和三位研究员联手解开。更有意思的是，题目原本悬赏找一个反例，Astra给出的答案却是：反例根本不存在，而且还顺手发明了一套新的投票规则和多项式时间算法。

题目：怎么选出一个没人能”掀桌子”的委员会

这道题来自批准式委员会选举领域，由Aziz等人于2017年正式提出。一群选民从候选人中选出k人组成委员会，每人提交一份自己认可的候选人名单。

社会选择理论用”核”来衡量委员会是否足够公平：任何一拨选民，只要凑够按比例分得的席位份额，就可以联合提名另一套候选人。如果这套方案能让联盟里每个人都严格受益，委员会就被”否决”。

“核”内的委员会，意味着没有任何联盟能否决它。问题在于：核会不会在某些偏好结构下是空的？也就是无论怎么选，总有人能掀桌子？9年来，数学家反复尝试构造核为空的反例，始终没有结果。

FrontierMath最高难度档，全榜仅6道

在AI数学基准FrontierMath上，这道题被列为最高难度档之一。该基准由Epoch AI联合数学家设计，题目多为数学界正在攻坚的未解之谜，此前主流大模型得分基本为零。

全榜49道题至今仅解开8道。难度分四档，”重大进展”档一共只有6道，GPT-6 Astra拿下的正是全球第一道；其上方只剩3道”突破”级题目无人触及。

结论：核永远非空，还能多项式时间算出来

论文《Existence of the Core in Approval-Based Committee Elections》已在arXiv公开（编号2609.11912），作者为慕尼黑工业大学Patrick Becker、牛津大学Matthias Greger、巴黎九大/CNRS的Dominik Peters。

论文给出的结论是：每一个选举实例都存在核内委员会，Hare配额口径成立，证明还覆盖了更紧的Droop配额；并且核内委员会总可以在多项式时间内找到。

关键武器：调和熵

证明的核心是一个新目标函数——调和熵。它鼓励把选民的”支付”尽可能均匀地分散给尽可能多的获胜候选人，可以理解为”水往低处流”：资金自动填平每个候选人的资金池。

此前的研究用香农熵或林达尔均衡，只能处理允许”半个委员”的分数情形。调和熵补上了整数委员会这最后一块缺口：资金绝对均匀时，函数最大值恰好等于调和级数，这也是名字的由来。

论文证明，调和熵的所有局部最优解都落在核内，而且满足更强的Core+条件。由于局部最优即可，用类似爬山的局部搜索就能求解，无需穷举组合——这让结果可以直接写成代码，应用到真实选举系统中。

官方被迫新增标签：Human + AI

arXiv论文备注栏写得直白：”我们提出的投票规则及其满足Core+的证明，均由GPT-6 Astra发现。”协作过程中，人类从林达尔均衡近似起步，不断要求模型改进边界、更换势函数、引入KKT条件，最终把结论推到了更强的Core+。

Peters在采访中坦言：没有Astra，他们大概率找不到这个证明；但只给Astra一句简单提示词，它也解不出来。论文中的存在性结论还通过了Lean形式化验证，代码托管在ABCVotingLean项目。

由于这次解题方式过于特殊，Epoch AI在三天前紧急为榜单引入全新状态标签”Human + AI”，并说明：人类在启发过程中发挥了积极作用，但核心思想完全来自AI；若做二元对比研究，建议将其视为AI的解决方案。

从解题到发现新的数学结构，这道”重大进展”难题标记的，或许是大模型角色变化的一个真实节点。